例 1.3.5

easy一级题目发布者: ai-batch

题干

例 1.3.5 已知 $P(A)=P(B)=P(C)=1/4$ , $P(AB)=0$ , $P(AC)=P(BC)=1/16$ , 则 $A,B,C$ 中至少发生一个的概率是多少？ $A,B,C$ 都不发生的概率是多少？

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因为 $P(AB)=0$ , 且 $ABC\subset AB$ , 所以由概率的单调性知 $P(ABC)=0$ . 再由加法公式, 得 $A,B,C$ 中至少发生一个的概率为

P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=\frac{3}{4}-\frac{2}{16}=\frac{5}{8}.

又因为" $A,B,C$ 都不发生"的对立事件为" $A,B,C$ 中至少发生一个", 所以由对立事件的概率公式得

P(A,B,C\ \text{都不发生})=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}.

一般而言, 求"至少有一个发生"的概率时, 用对立事件公式去求较为方便, 但下面例 1.3.6 的配对问题却不能用对立事件去求解, 而一定要将事件"至少有一个发生"表示成事件的并, 然后用一般事件的加法公式去求解。