例 3.2.8medium一级题目发布者: ai-batch题干设二维随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的联合密度函数 p(x,y)p(x,y)p(x,y) 如下所示，判定 XXX 与 YYY 的独立性： （1）p(x,y)={6xy2,0<x<1, 0<y<1,0,其他;p(x,y) = \begin{cases} 6xy^2, & 0<x<1,\; 0<y<1, \\ 0, & \text{其他}; \end{cases}p(x,y)={6xy2,0,0<x<1,0<y<1,其他; （2）p(x,y)={12y2,0⩽y⩽x⩽1,0,其他;p(x,y) = \begin{cases} 12y^2, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text{其他}; \end{cases}p(x,y)={12y2,0,0⩽y⩽x⩽1,其他; （3）p(x,y)={6exp{−2x−3y},x>0, y>0,0,其他;p(x,y) = \begin{cases} 6\exp\{-2x-3y\}, & x>0,\; y>0, \\ 0, & \text{其他}; \end{cases}p(x,y)={6exp{−2x−3y},0,x>0,y>0,其他; （4）p(x,y)={x2+xy/3,0<x<1, 0<y<2,0,其他.p(x,y) = \begin{cases} x^2+xy/3, & 0<x<1,\; 0<y<2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}p(x,y)={x2+xy/3,0,0<x<1,0<y<2,其他.答案点击展开后可查看解析解析（1） 边际分布为 pX(x)=2x, x∈DX=(0,1),p_X(x) = 2x,\; x \in D_X = (0,1),pX(x)=2x,x∈DX=(0,1), pY(y)=3y2, y∈DY=(0,1),p_Y(y) = 3y^2,\; y \in D_Y = (0,1),pY(y)=3y2,y∈DY=(0,1), 故有 p(x,y)=pX(x)pY(y)p(x,y) = p_X(x)p_Y(y)p(x,y)=pX(x)pY(y)，(x,y)∈{(x,y):x∈DX,y∈DY}(x,y) \in \{(x,y): x \in D_X, y \in D_Y\}(x,y)∈{(x,y):x∈DX,y∈DY}，所以 XXX 与 YYY 相互独立。这种状态称为变量 XXX 与 YYY 可分离，它有两方面含义，一是指 p(x,y)=pX(x)⋅pY(y)p(x,y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)p(x,y)=pX(x)⋅pY(y)，二是指 p(x,y)p(x,y)p(x,y) 的非零区域亦可分解为两个一维区域的乘积空间。 （2） 因 XXX 的取值与 YYY 的取值相互影响，故 p(x,y)p(x,y)p(x,y) 不可分离，所以 XXX 与 YYY 不相互独立。 （3） 边际分布为 pX(x)=2e−2x, x∈DX={x>0},p_X(x) = 2\mathrm{e}^{-2x},\; x \in D_X = \{x>0\},pX(x)=2e−2x,x∈DX={x>0}, pY(y)=3e−3y, y∈DY={y>0},p_Y(y) = 3\mathrm{e}^{-3y},\; y \in D_Y = \{y>0\},pY(y)=3e−3y,y∈DY={y>0}, 且有 p(x,y)=pX(x)pY(y)p(x,y) = p_X(x)p_Y(y)p(x,y)=pX(x)pY(y)，(x,y)∈{(x,y):x∈DX,y∈DY}(x,y) \in \{(x,y): x \in D_X, y \in D_Y\}(x,y)∈{(x,y):x∈DX,y∈DY}，故 XXX 与 YYY 可分离，即 XXX 与 YYY 相互独立。 （4） 边际分布为 pX(x)=2x2+23x, x∈DX=(0,1),p_X(x) = 2x^2 + \frac{2}{3}x,\; x \in D_X = (0,1),pX(x)=2x2+32x,x∈DX=(0,1), pY(y)=13+16y, y∈DY=(0,2),p_Y(y) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}y,\; y \in D_Y = (0,2),pY(y)=31+61y,y∈DY=(0,2), 由于 p(x,y)≠pX(x)pY(y)p(x,y) \neq p_X(x)p_Y(y)p(x,y)=pX(x)pY(y)，即 XXX 与 YYY 不可分离，所以 XXX 与 YYY 不相互独立。