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学生教师

例 5.1.2

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

一个测量者对一个物理量 μ\muμ 进行重复测量，此时每次可能的测量结果是 (−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞) 中的一个实数，因此总体是一个取值于 (−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞) 的随机变量 XXX。

有一点是可以确定的，测量结果 XXX 可以看作物理量 μ\muμ 与测量误差 ε\varepsilonε 的叠加，即

X=μ+ε,X = \mu + \varepsilon,X=μ+ε,

这里 μ\muμ 是一个确定的但未知的量，我们称之为参数，ε\varepsilonε 是随机变量。于是关于总体分布的假定主要是关于 ε\varepsilonε 的分布的假定。

试分析以下几种假定分别对应什么样的总体分布族：

（1）由中心极限定理，假定随机误差 ε∼N(0,σ2)\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)ε∼N(0,σ2)；

（2）假定误差服从正态分布，且方差 σ02\sigma_0^2σ02​ 已知（由测量系统本身的精度决定），即 ε∼N(0,σ02)\varepsilon \sim N(0, \sigma_0^2)ε∼N(0,σ02​)；

（3）假定误差的分布是关于 0 对称的，但不一定服从正态分布。

答案点击展开后可查看解析

解析

（1）由于 ε∼N(0,σ2)\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)ε∼N(0,σ2)，于是测量值的总体就是一个正态分布族，即 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)X∼N(μ,σ2)，这里总体中有两个未知参数 μ,σ\mu, \sigmaμ,σ。如何推断 μ\muμ 与 σ\sigmaσ 是统计学要研究的问题。

（2）假如我们不仅知道误差服从正态分布，还知道分布的方差（这通常可由测量系统本身的精度决定），于是就可假定 ε∼N(0,σ02)\varepsilon \sim N(0, \sigma_0^2)ε∼N(0,σ02​)，其中 σ0\sigma_0σ0​ 是一个已知的常数。如此，总体仍是一个正态分布族 N(μ,σ02)N(\mu, \sigma_0^2)N(μ,σ02​)，但总体中只有一个未知参数 μ\muμ。如何推断 μ\muμ 是统计学要研究的问题。

（3）假如我们并没有理由认定误差服从正态分布，但可以认为误差的分布是关于 0 对称的，则总体分布就变为一个分布类型未知但带有某种限制的分布，通常它不能被有限个参数所描述，常称为非参数分布。这个方面的研究有专题讨论，本课程将在第七章作一些探讨。

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