例 5.1.6

这是一个容量为 5 的样本，经排序可得有序样本：

$$x_{(1)} = 344, \quad x_{(2)} = 347, \quad x_{(3)} = 351, \quad x_{(4)} = 351, \quad x_{(5)} = 355,$$

其经验分布函数为

$$F_n(x) = \begin{cases} 0, & x < 344, \\ 0.2, & 344 \leqslant x < 347, \\ 0.4, & 347 \leqslant x < 351, \\ 0.8, & 351 \leqslant x < 355, \\ 1, & x \geqslant 355. \end{cases}$$

对每一固定的 $x$，$F_n(x)$ 是样本中事件 $\{x_i \leqslant x\}$ 发生的频率。当 $n$ 固定时，$F_n(x)$ 是样本的函数，它是一个随机变量。若对任意给定的实数 $x$，定义

$$I_i(x) = \begin{cases} 1, & x_i \leqslant x, \\ 0, & x_i > x, \end{cases}$$

则由经验分布函数的定义可以看出，对任意给定的实数 $x$，

$$F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} I_i(x).$$

注意到诸 $I_i(x)$ 是独立同分布的随机变量，其共同分布为 $b(1, F(x))$，由伯努利大数定律：只要 $n$ 相当大，$F_n(x)$ 依概率收敛于 $F(x)$。更深刻的结果也是存在的，这就是格利文科定理。