例 1.4.7

例 1.4.7（敏感性问题调查） 为估计学生中看过黄色书刊或影像的比率 $p$，设计如下调查方案：被调查者独自一人在房间内，从罐中随机抽一只球（罐中只有白球和红球，红球比率为 $\pi$），看过颜色后放回。

• 若抽到白球，回答问题 A："你的生日是否在 7 月 1 日之前？"
• 若抽到红球，回答问题 B："你是否看过黄色书刊或影像？"

被调查者只需在答卷上勾选"是"或"否"，然后投入密封箱。旁人无法知道其回答的是哪个问题。

现共收到 $n$ 张有效答卷，其中 $k$ 张回答"是"。已知任选一人其生日在 7 月 1 日之前的概率为 $0.5$，罐中红球比率 $\pi$ 已知。

（1）试利用全概率公式，由 $(n, k, 0.5, \pi)$ 导出 $p$ 的估计公式。

（2）若红球 30 个、白球 20 个（$\pi = 0.6$），调查收到 1583 张有效答卷，其中 389 张回答"是"，求 $p$ 的估计值。