5.2.22

设 $X$ 是一个正态分布随机变量，即 $X \sim N(1,1)$，而 $Y$ 是一个伯努利分布随机变量，即 $Y \sim b(1, 0.5)$。$X$ 和 $Y$ 相互独立。令

$$Z = \begin{cases} X, & Y=1, \\ -X, & Y=0. \end{cases}$$

若 $z_1, z_2, \ldots, z_n$ 是来自该总体的样本，其样本均值为 $\bar{z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n z_i$。试求：

(1) $\bar{z}$ 的渐近分布；

(2) 当 $n=3,4,5,6,7,8,9,10$ 时，$\bar{z}$ 的蒙特卡罗分布。