例 3.2.4

hard一级题目发布者: ai-batch

题干

三项分布 $M(n, p_1, p_2, p_3)$ 实质上是二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布，其联合分布列为

P(X = i, Y = j) = \frac{n!}{i!\, j!\, (n-i-j)!}\, p_1^i\, p_2^j\, (1 - p_1 - p_2)^{n-i-j},

其中 $i, j = 0, 1, 2, \cdots, n$ ， $i + j \leqslant n$ 。

试证明 $X$ 的边际分布为二项分布 $b(n, p_1)$ ， $Y$ 的边际分布为 $b(n, p_2)$ ，并推广到 $r$ 项分布的情形。

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对联合分布列关于 $j$ 从 $0$ 到 $n - i$ 求和。先乘和除以 $(1 - p_1)^{n-i} / (n-i)!$ ，并记 $p_2' = p_2 / (1 - p_1)$ ，则

\sum_{j=0}^{n-i} P(X = i, Y = j) = \frac{n!}{i!\,(n-i)!}\, p_1^i\, (1-p_1)^{n-i} \cdot \sum_{j=0}^{n-i} \binom{n-i}{j} \left(\frac{p_2}{1-p_1}\right)^j \left(1 - \frac{p_2}{1-p_1}\right)^{n-i-j}.

注意到内层求和恰好是二项式 $[p_2' + (1 - p_2')]^{n-i} = 1$ 的展开，因此

P(X = i) = \frac{n!}{i!\,(n-i)!}\, p_1^i\, (1-p_1)^{n-i}, \quad i = 0, 1, \cdots, n.

所以 $X \sim b(n, p_1)$ 。同理可证 $Y \sim b(n, p_2)$ 。

用类似的方法可以证明： $r$ 项分布 $M(n, p_1, p_2, \cdots, p_r)$ 的最低阶边际分布是 $r$ 个二项分布 $b(n, p_i)$ ， $i = 1, 2, \cdots, r$ 。