7.4.3

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自指数分布 $\text{Exp}(\lambda_1)$ 的样本，$y_1, y_2, \cdots, y_m$ 为来自指数分布 $\text{Exp}(\lambda_2)$ 的样本，且两组样本独立，其中 $\lambda_1, \lambda_2$ 是未知的正参数.

(1) 求假设 $H_0: \lambda_1 = \lambda_2$ vs $H_1: \lambda_1 \neq \lambda_2$ 的似然比检验；

(2) 证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \bigg/ \sum_{i=1}^{m} y_i$；

(3) 求统计量 $\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i/(2n)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{m} y_i/(2m)}$ 在原假设成立下的分布.