例 3.3.11

记 $V=Y$，因 $V>0$，故

$$\begin{cases} u=xy,\\ v=y \end{cases}$$

有唯一的反函数，为

$$\begin{cases} x=u/v,\\ y=v, \end{cases}$$

其雅可比行列式为

$$J= \begin{vmatrix} 1/v & -u/v^2\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =\frac{1}{v},$$

所以 $(U,V)$ 的联合密度函数为

$$p(u,v)=p_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)|J| =p_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{v}.$$

对 $p(u,v)$ 关于 $v$ 积分，就可得 $U=XY$ 的密度函数为 (3.3.21) 式。