例 6.3.6medium一级题目发布者: ai-batch题干设 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 是来自正态总体 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2) 的样本，在例 6.3.4 中已求得 μ\muμ 和 σ2\sigma^2σ2 的最大似然估计为 μ^=xˉ,σ2^=sn2.\hat{\mu} = \bar{x}, \quad \hat{\sigma^2} = s_n^2.μ^=xˉ,σ2^=sn2. 利用最大似然估计的不变性，分别求以下参数函数的最大似然估计： （1）标准差 σ\sigmaσ 的 MLE； （2）概率 P(X<3)=Φ (3−μσ)P(X < 3) = \Phi\!\left(\dfrac{3-\mu}{\sigma}\right)P(X<3)=Φ(σ3−μ) 的 MLE； （3）总体 0.90 分位数 x0.90=μ+σu0.90x_{0.90} = \mu + \sigma u_{0.90}x0.90=μ+σu0.90 的 MLE，其中 u0.90u_{0.90}u0.90 为标准正态分布的 0.90 分位数。答案点击展开后可查看解析解析由最大似然估计的不变性可得如下参数的最大似然估计： 标准差 σ\sigmaσ 的 MLE 是 σ^=sn\hat{\sigma} = s_nσ^=sn。 概率 P(X<3)=Φ (3−μσ)P(X<3) = \Phi\!\left(\dfrac{3-\mu}{\sigma}\right)P(X<3)=Φ(σ3−μ) 的 MLE 是 Φ (3−xˉsn)\Phi\!\left(\dfrac{3-\bar{x}}{s_n}\right)Φ(sn3−xˉ)。 总体 0.90 分位数 x0.90=μ+σu0.90x_{0.90} = \mu + \sigma u_{0.90}x0.90=μ+σu0.90 的 MLE 是 xˉ+snu0.90\bar{x} + s_n u_{0.90}xˉ+snu0.90，其中 u0.90u_{0.90}u0.90 为标准正态分布的 0.90 分位数。