例 3.5.9

从题意知，每月供应电力 $X \sim U(10,30)$，而工厂实际需要电力 $Y \sim U(10,20)$。

若设工厂每个月的利润为 $Z$ 万元，则按题意可得

$$Z = \begin{cases} 30Y, & \text{当 } Y \leq X, \\ 30X+10(Y-X), & \text{当 } Y>X. \end{cases}$$

在 $X=x$ 给定时，$Z$ 仅是 $Y$ 的函数，于是当 $10 \leq x < 20$ 时，$Z$ 的条件期望为

$$\begin{aligned} E(Z \mid X=x) &= \int_{10}^x 30y\,p_Y(y)\mathrm{d}y + \int_x^{20}(10y+20x)\,p_Y(y)\mathrm{d}y \\ &= \int_{10}^x 30y\frac{1}{10}\mathrm{d}y + \int_x^{20}(10y+20x)\frac{1}{10}\mathrm{d}y \\ &= \frac{3}{2}(x^2-100) + \frac{1}{2}(20^2-x^2) + 2x(20-x) \\ &= 50+40x-x^2 \end{aligned}$$

当 $20 \leq x \leq 30$ 时，$Z$ 的条件期望为

$$E(Z \mid X=x) = \int_{10}^{20}30y\,p_Y(y)\mathrm{d}y = \int_{10}^{20}30y\frac{1}{10}\mathrm{d}y = 450.$$

然后用 $X$ 的分布对条件期望 $E(Z \mid X=x)$ 再作一次平均，即得

$$\begin{aligned} E(Z) &= E(E(Z \mid X)) \\ &= \int_{10}^{20}E(Z \mid X=x)p_X(x)\mathrm{d}x + \int_{20}^{30}E(Z \mid X=x)p_X(x)\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{20}\int_{10}^{20}(50+40x-x^2)\mathrm{d}x + \frac{1}{20}\int_{20}^{30}450\mathrm{d}x \\ &= 25+300-\frac{700}{6}+225 \approx 433. \end{aligned}$$

所以该厂每月的平均利润为 433 万元。