例 6.2.2easy一级题目发布者: ai-batch题干设总体为指数分布，其密度函数为 p(x;λ)=λe−λx,x⩾0,p(x;\lambda) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, \quad x \geqslant 0,p(x;λ)=λe−λx,x⩾0, x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 是样本，求 λ\lambdaλ 的矩估计。答案点击展开后可查看解析解析此处 k=1k = 1k=1，由于 E(X)=1/λE(X) = 1/\lambdaE(X)=1/λ，亦即 λ=1/E(X)\lambda = 1/E(X)λ=1/E(X)，故 λ\lambdaλ 的矩估计为 λ^=1/xˉ.\hat{\lambda} = 1/\bar{x}.λ^=1/xˉ. 另外，由于 Var(X)=1/λ2\mathrm{Var}(X) = 1/\lambda^2Var(X)=1/λ2，其反函数为 λ=1/Var(X)\lambda = 1/\sqrt{\mathrm{Var}(X)}λ=1/Var(X)，因此，从替换原理来看，λ\lambdaλ 的矩估计也可取为 λ^1=1/s,\hat{\lambda}_1 = 1/s,λ^1=1/s, sss 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。