乐湖华研题库
学生教师

例 3.4.11

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

设有一笔资金，总量记为 1（可以是 1 万元，也可以是 100 万元等），如今要投资甲、乙两种证券。若将资金 x1x_1x1​ 投资于甲证券，将余下的资金 1−x1=x21-x_1=x_21−x1​=x2​ 投资于乙证券，于是 (x1,x2)(x_1,x_2)(x1​,x2​) 就形成了一个投资组合。记 XXX 为投资甲证券的收益率，YYY 为投资乙证券的收益率，它们都是随机变量。如果已知 XXX 和 YYY 的均值（代表平均收益）分别为 μ1\mu_1μ1​ 和 μ2\mu_2μ2​，方差（代表风险）分别为 σ12\sigma_1^2σ12​ 和 σ22\sigma_2^2σ22​，XXX 和 YYY 间的相关系数为 ρ\rhoρ。试求该投资组合的平均收益与风险（方差），并求使投资组合风险最小的 x1x_1x1​ 是多少？

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解析

因为组合收益为

Z=x1X+x2Y=x1X+(1−x1)Y,Z = x_1 X + x_2 Y = x_1 X + (1-x_1)Y,Z=x1​X+x2​Y=x1​X+(1−x1​)Y,

所以该组合的平均收益为

E(Z)=x1E(X)+(1−x1)E(Y)=x1μ1+(1−x1)μ2.E(Z) = x_1 E(X) + (1-x_1)E(Y) = x_1\mu_1 + (1-x_1)\mu_2.E(Z)=x1​E(X)+(1−x1​)E(Y)=x1​μ1​+(1−x1​)μ2​.

而该组合的风险（方差）为

Var(Z)=Var[x1X+(1−x1)Y]\mathrm{Var}(Z) = \mathrm{Var}[x_1 X + (1-x_1)Y]Var(Z)=Var[x1​X+(1−x1​)Y] =x12Var(X)+(1−x1)2Var(Y)+2x1(1−x1)Cov(X,Y)= x_1^2\mathrm{Var}(X) + (1-x_1)^2\mathrm{Var}(Y) + 2x_1(1-x_1)\mathrm{Cov}(X,Y)=x12​Var(X)+(1−x1​)2Var(Y)+2x1​(1−x1​)Cov(X,Y) =x12σ12+(1−x1)2σ22+2x1(1−x1)ρσ1σ2.= x_1^2\sigma_1^2 + (1-x_1)^2\sigma_2^2 + 2x_1(1-x_1)\rho\sigma_1\sigma_2.=x12​σ12​+(1−x1​)2σ22​+2x1​(1−x1​)ρσ1​σ2​.

求最小的组合风险，即求 Var(Z)\mathrm{Var}(Z)Var(Z) 关于 x1x_1x1​ 的极小点，为此令

d(Var(Z))dx1=2x1σ12−2(1−x1)σ22+2ρσ1σ2−4x1ρσ1σ2=0,\frac{\mathrm{d}(\mathrm{Var}(Z))}{\mathrm{d}x_1} = 2x_1\sigma_1^2 - 2(1-x_1)\sigma_2^2 + 2\rho\sigma_1\sigma_2 - 4x_1\rho\sigma_1\sigma_2 = 0,dx1​d(Var(Z))​=2x1​σ12​−2(1−x1​)σ22​+2ρσ1​σ2​−4x1​ρσ1​σ2​=0,

从中解得

x1∗=σ22−ρσ1σ2σ12+σ22−2ρσ1σ2.x_1^* = \frac{\sigma_2^2 - \rho\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}.x1∗​=σ12​+σ22​−2ρσ1​σ2​σ22​−ρσ1​σ2​​.

它与 μ1,μ2\mu_1,\mu_2μ1​,μ2​ 无关。又因为 Var(Z)\mathrm{Var}(Z)Var(Z) 中 x12x_1^2x12​ 的系数为正，所以以上的 x1∗x_1^*x1∗​ 可使组合风险达到最小。

譬如，σ12=0.3\sigma_1^2=0.3σ12​=0.3，σ22=0.5\sigma_2^2=0.5σ22​=0.5，ρ=0.4\rho=0.4ρ=0.4，则

x1∗=0.5−0.40.3×0.50.3+0.5−2×0.40.3×0.5=0.704.x_1^* = \frac{0.5-0.4\sqrt{0.3\times0.5}}{0.3+0.5-2\times0.4\sqrt{0.3\times0.5}} = 0.704.x1∗​=0.3+0.5−2×0.40.3×0.5​0.5−0.40.3×0.5​​=0.704.

这说明应把全部资金的 70% 投资于甲证券，而把余下的 30% 资金投向乙证券，这样的投资组合风险最小。

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