例 3.3.7

首先指出 $Z = X + Y$ 仍在 $(-\infty, \infty)$ 上取值，利用卷积公式 (3.3.13) 可得

$$p_Z(z) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{(z-y-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} \mathrm{d}y,$$

对上式被积函数中的指数部分按 $y$ 的幂次展开，再合并同类项，不难得到

$$\frac{(z-y-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} = A\left(y - \frac{B}{A}\right)^2 + \frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2},$$

其中

$$A = \frac{1}{\sigma_1^2} + \frac{1}{\sigma_2^2}, \quad B = \frac{z-\mu_1}{\sigma_1^2} + \frac{\mu_2}{\sigma_2^2}.$$

代回原式，可得

$$p_Z(z) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \exp\left\{-\frac{1}{2}\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right\} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{-\frac{A}{2}\left(y - \frac{B}{A}\right)^2\right\} \mathrm{d}y.$$

利用正态密度函数的正则性，上式中的积分应为 $\sqrt{2\pi}/\sqrt{A}$，于是

$$p_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}} \exp\left\{-\frac{1}{2}\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right\},$$

这正是均值为 $\mu_1+\mu_2$，方差为 $\sigma_1^2+\sigma_2^2$ 的正态密度函数。

上述结论表明：两个独立的正态变量之和仍为正态变量，其分布中的两个参数分别对应相加，即

$$N(\mu_1, \sigma_1^2) * N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2).$$

显然，这个结论可以推广到有限个独立正态变量之和的场合。

另外我们知道，若随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则对任意非零实数 $a$ 有 $aX \sim N(a\mu, a^2\sigma^2)$。由此我们可得另一个重要结论：任意 $n$ 个相互独立的正态变量的线性组合仍是正态变量，即

$$a_1 X_1 + a_2 X_2 + \cdots + a_n X_n \sim N(\mu_0, \sigma_0^2),$$

若 $X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$，$i = 1, 2, \cdots, n$，则参数 $\mu_0$ 与 $\sigma_0^2$ 分别为

$$\mu_0 = \sum_{i=1}^n a_i \mu_i, \quad \sigma_0^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2.$$

譬如，已知 $X \sim N(-3, 1)$，$Y \sim N(2, 1)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$$Z = X - 2Y + 7 \sim N(0, 5).$$