例 3.5.4

hard一级题目发布者: ai-batch

题干

设 $(X,Y)$ 服从二维正态分布 $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$ ，由边际分布知 $X$ 服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ ， $Y$ 服从正态分布 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 。求给定 $Y = y$ 条件下 $X$ 的条件密度函数及其均值和方差。

答案点击展开后可查看解析

解析

根据条件密度公式得

p(x \mid y) = \frac{p(x,y)}{p_Y(y)}

= \frac{\dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\dfrac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\dfrac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}}{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_2} \exp\left\{-\dfrac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right\}}

= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_1\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma_1^2(1-\rho^2)}\left[x - \left(\mu_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2)\right)\right]^2\right\},

这正是正态密度函数，其均值 $\mu_3$ 和方差 $\sigma_3^2$ 分别为

\mu_3 = \mu_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y - \mu_2), \quad \sigma_3^2 = \sigma_1^2(1-\rho^2).

类似可得，在给定 $X = x$ 的条件下， $Y$ 的条件分布仍为正态分布 $N(\mu_4, \sigma_4^2)$ ，其均值和方差分别为

\mu_4 = \mu_2 + \rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x - \mu_1), \quad \sigma_4^2 = \sigma_2^2(1-\rho^2).

由此也可以看出：二维正态分布的边际分布和条件分布都是一维正态分布，这是正态分布的一个重要性质。

例 3.5.4

题干

解析

评论 0

评论 0