例 5.3.4hard一级题目发布者: ai-batch题干设总体分布为 U(0,1)U(0,1)U(0,1)，x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 为其样本，令 R=x(n)−x(1)R = x_{(n)} - x_{(1)}R=x(n)−x(1) 为样本极差，求 RRR 的分布。答案点击展开后可查看解析解析(Y,Z)=(x(1),x(n))(Y, Z) = (x_{(1)}, x_{(n)})(Y,Z)=(x(1),x(n)) 的联合密度函数为 p(y,z)=n(n−1)(z−y)n−2,0<y<z<1.p(y, z) = n(n-1)(z-y)^{n-2}, \quad 0 < y < z < 1.p(y,z)=n(n−1)(z−y)n−2,0<y<z<1. 令 R=Z−YR = Z - YR=Z−Y，由 R>0R > 0R>0，0<Y<Z<10 < Y < Z < 10<Y<Z<1，可以推出 0<Y=Z−R⩽1−R0 < Y = Z - R \leqslant 1 - R0<Y=Z−R⩽1−R，则 (Y,R)(Y, R)(Y,R) 的联合分布密度为 p(y,r)=n(n−1)rn−2,y>0, r>0, y+r<1,p(y, r) = n(n-1)r^{n-2}, \quad y > 0,\; r > 0,\; y + r < 1,p(y,r)=n(n−1)rn−2,y>0,r>0,y+r<1, 于是 RRR 的边际密度函数为 pR(r)=∫01−rn(n−1)rn−2 dy=n(n−1)rn−2(1−r),0<r<1,p_R(r) = \int_0^{1-r} n(n-1)r^{n-2}\,\mathrm{d}y = n(n-1)r^{n-2}(1-r), \quad 0 < r < 1,pR(r)=∫01−rn(n−1)rn−2dy=n(n−1)rn−2(1−r),0<r<1, 这正是参数为 (n−1,2)(n-1, 2)(n−1,2) 的贝塔分布。