例 2.6.3

先求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$。由于 $Y = X^2 \geqslant 0$，故当 $y \leqslant 0$ 时，有 $F_Y(y) = 0$，从而 $p_Y(y) = 0$。当 $y > 0$ 时，有

$$F_Y(y) = P(Y \leqslant y) = P(X^2 \leqslant y) = P(-\sqrt{y} \leqslant X \leqslant \sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1.$$

因此 $Y$ 的分布函数为

$$F_Y(y) = \begin{cases} 2\Phi(\sqrt{y}) - 1, & y > 0, \\ 0, & y \leqslant 0. \end{cases}$$

再用求导的方法求出 $Y$ 的密度函数

$$p_Y(y) = \begin{cases} \varphi(\sqrt{y}) \, y^{-1/2}, & y > 0, \\ 0, & y \leqslant 0. \end{cases} = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \, y^{-1/2} \, e^{-y/2}, & y > 0, \\ 0, & y \leqslant 0. \end{cases}$$

对照 $\chi^2$ 分布的密度函数，可以看出 $Y \sim \chi^2(1)$。