例 6.6.8

这是典型的抽样调查问题，在抽样调查中，置信水平 $1-\alpha$ 也称为保证概率，置信区间的半径（长度的一半）$d_0$ 也称为绝对误差。

这是关于二点分布比例 $p$ 的置信区间问题，由 (6.6.11) 式知，$p$ 的 $1-\alpha$ 近似置信区间半径为 $u_{1-\alpha/2}\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x})/n}$，这是一个随机变量，但由于 $\bar{x} \in (0,1)$，所以对任意的观测值有 $\bar{x}(1-\bar{x}) \leqslant 0.5^2 = 0.25$。这也就是说 $p$ 的 $1-\alpha$ 的置信区间半径不会超过 $u_{1-\alpha/2}/(2\sqrt{n})$。现要求 $p$ 的 $1-\alpha$ 的置信区间半径不超过 $d_0$，只需 $u_{1-\alpha/2}/(2\sqrt{n}) \leqslant d_0$ 即可，从而

$$n \geqslant \left(\frac{u_{1-\alpha/2}}{2d_0}\right)^2. \tag{6.6.12}$$

这是在估计比例 $p$ 场合确定样本量的公式。比如，若取 $d_0 = 0.02$，$\alpha = 0.05$，则

$$n \geqslant \left(\frac{u_{0.975}}{0.04}\right)^2 = \left(\frac{1.96}{0.04}\right)^2 = 2401.$$

这表明，要使综艺节目收视率 $p$ 的 0.95 置信区间的半径不超过 0.02，则至少需要对 2401 个用户作调查。或者说，至少需调查 2401 个用户，才能以概率 0.95 保证调查所得比例估计值 $\hat{p}$ 与真值 $p$ 的差异不大于 0.02。